面积为什么是长乘宽

面积之所以被定义为长乘以宽，可以从多个角度来理解：

微积分的近似处理

面积可以看作是无数个微小的矩形（或点）的累积和。从微观角度看，这些小矩形的长可以忽略不计，因此面积可以近似为这些小矩形的宽的和，即长乘以宽。

平移不变性

在欧式空间中，平移一个形状不会改变其面积。假设一个矩形平移后，其下宽与原来的上宽重合，面积不变。通过平移前后的矩形可以组成一个更大的矩形，其面积是原矩形的2倍。由此可以推断出，面积与长和宽都成正比，因此面积的最简表示为长乘以宽。

线与面的构成

面积是由无数条线组成的，这些线在平移一定距离后形成宽度，从而构成一个长方形。因此，长方形的面积可以表示为长乘以宽。

累加的概念

“面积”的“积”本质上是累加的意思。所谓面积，就是组成长方形的面的所有点的总和。虽然点的面积是无穷小的，无法直接求和，但“长×宽”中的乘法也可以看作是多个相同东西的相加，因此可以用“×”来表示这种累加过程。

综上所述，面积之所以是长乘宽，是因为它可以从微观角度看作是无数个微小矩形的累积和，也可以从几何变换的角度看作是平移不变性的结果，还可以从线与面的构成以及累加的概念来理解。这些解释都指向了同一个结论：面积是长乘以宽。